【問題】
　４人で行うじゃんけんで
　p4(3)、p4(2)、p4(1)、p4(1)がわかっている場合、じゃんけんの回数の期待値E(4)は、
　どのように書けるだろうか？

　尚、
　４人→３人になる確率をp4(3)と書くことにする。
　同様に　４人→２人になる確率をp4(2)
　同様に　４人→１人になる確率をp4(1)

　又、期待値　E(3)、E(2)、E(1)もわかっているものとする。


E(4)＝(あいこになる確率)・E(4)
　　　＋(３人になる確率)・E(3)
　　　＋(２人になる確率)・E(2)
　　　＋(１人になる確率)・E(1)
　　　＋１
　　＝p4(4)・E(4)＋p4(3)・E(3)＋p4(2)・E(2)＋p4(1)・E(1)＋１


（１−p4(4)）・E(4)＝p4(3)・E(3)＋p4(2)・E(2)＋p4(1)・E(1)＋１

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ここで

E(3)＝9/4
E(2)＝3/2
E(1)＝0

p4(4)＝1-(2^4-2)/3^(4-1)=13/27
p4(3)＝3×4C3・(1/3)^4=4/27
p4(2)＝3×4C2・(1/3)^4=6/27
p4(1)＝3×4C1・(1/3)^4=4/27

なので、
右辺＝p4(3)・E(3)＋p4(2)・E(2)＋p4(1)・E(1)＋１
＝4/27・9/4＋6/27・3/2＋4/27・0＋１
＝1/3＋1/3+0＋１
＝5/3

左辺＝(１−p4(4))・E(4)＝(14/27)・E(4)


(14/27)・E(4)＝5/3

⇒　E(4)＝27/14・5/3＝45/14回
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一般に　n人の場合、以下の式を　帰納的に使って求められそう。

（１−pn(n)）・E(n)＝pn(n-1)・E(n-1)＋・・・＋pn(2)・E(2)＋pn(1)・E(1)＋１


ここで　あいこになる確率は、
pn(n)＝1-(2^n-2)/3^(n-1)

nから、k人になる確率は、
pn(k)＝3×nCk/3^n＝nCk/3^(n-1)

式を整理すると

(2^n-2)/3^(n-1)・E(n)＝nCn-1・(1/3^(n-1))・E(n-1)＋・・・＋nC2・(1/3^(n-1))・E(2)＋nC1・(1/3^(n-1))・E(1)＋１

よって、

E(n)＝｛nCn-1・E(n-1)＋・・・＋nC2・E(2)＋nC1・E(1)＋3^(n-1)｝/(2^n-2)


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■■■１００人じゃんけんの回数の期待値■■■
E(1)= 0
E(2)= 3/2
E(3)= 9/4
E(4)= 45/14
E(5)= 157/35
E(6)= 13497/2170
E(7)= 225161/26040
E(8)= 10007591/826770
E(9)= 200190574/11712575
E(10)= 8327737507/342007190
・
・
・
<つづく>
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＜十進ＢＡＳＩＣ＞

OPTION ARITHMETIC RATIONAL

DIM E(1000)
PRINT "■■■１００人じゃんけんの回数の期待値■■■"

! １回目決着のつく回数の期待値 １−（（２^N−２）／３^N）
LET E(1)=0
! LET E(2)=3/2
! LET E(3)=9/4

PRINT "E(1)=";E(1)
! PRINT "E(2)=";E(2)
! PRINT "E(3)=";E(3)

! E(n)＝｛nCn-1・E(n-1)＋・・・＋nC2・E(2)＋nC1・E(1)＋3^(n-1)｝/(2^n-2)

FOR n=2 TO 100
LET S=0

FOR k=n-1 TO 1 STEP -1
LET S=COMB(n,k)*E(k)+S
NEXT k

LET S=S+3^(n-1)
LET S=S/((2^n)-2)

LET E(n)=S

PRINT "E(";STR$(n);")=";E(n)

NEXT n

END