無理 数の平方根　√（無理数）が無理数であること　　　　・・・　メモ

α　が無理数であるとき、　　その平方根　√α　は　無理数である。

-　証明（背理法）　-

もし、　√α　が有理数であるとすると、

√α　＝　ｍ／ｎ　　　（ｍ、ｎは自然数）　

と書くことができる。

両辺を２乗して

α　　＝　ｍ＾2／ｎ＾2

定義により左辺は無理数、右辺は有理数であるから矛盾。

これは　√α　が有理数であるとした仮定が間違っていたからである。　
　
よって、√α　は無理数である。


※√は言い換えると　２乗根のことなので、ほぼ同様の操作で 同 様のこと（無理数であること）が　

　　３乗根、４乗根、・・・ ｎ乗根の場合も言える。（ｎ≧２ 自然数）