ＬＯＧの級数展開（eを底とする）　覚え書

LOGの級数展開

ｌog(１＋Z)=

Ｚ-

Z^2
――
２

Z^3
――
３

Z^4
――
４

Z^5
――
５

-・・・

Z＝i＝√-1として

ｌog(１＋i)=

i^2
――
２

i^3
――
３

i^4
――
４

i^5
――
５

-・・・

　　　　　　=1/2・（1-1/2+1/3-1/4+・・・）＋i（１-1/3+1/5-1/7+・・・)

オイラーの公式から、１＋i＝√2ｅ^(π/4)iであるので

ｌog(１＋i)=log（√2ｅ^(π/4)i）＝1/2・log2＋i(π/4)

実数、虚数部比較して

log２＝１－1/2＋1/3-1/4＋・・・

π/4＝１-1/3+1/5-1/7+・・・

ＬＯＧ N（eを底とする）・・・ e^x=Nとなるx

LOGの級数展開

ｌog(N)=

２{

N-1
――
N+1

(N-1)^3
―――
3・(N+1)^3

(N-1)^5
―――
5・(N+1)^5

(N-1)^7
―――
7・(N+1)^7

+・・・}