公式覚書


e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+・・・

a^x=1+ln(a)・x+(ln(a))^2・x^2/2!+(ln(a))^3・x^3/3!+・・・

e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+・・・

1/e=e^(-1)=1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+・・・

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+・・・

1+2+3+・・・n=n(n+1)/2

1+2^2+3^2+・・・n^2=n(n+1)(2n+1)/6

＝平方数の和の公式＝

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1　より
式を変形して
(n+1)^3-n^3　=　3n^2+3n+1

nに1,2,3,・・・と順に入れると

2^3-1^3　=　3・1^2+3・1+1
3^3-2^3　=　3・2^2+3・2+1
4^3-3^3　=　3・3^2+3・3+1
5^3-4^3　=　3・4^2+3・4+1
・
・
・
(N+1)^3-N^3 =　3・N^2+3・N+1

各辺を足していく

(N+1)^3-1　=　3・Σk^2+3・Σk+N　
ここで、Σk＝N(N+1)/2　なので

(N+1)^3-1　=　3・Σk^2+3・N(N+1)/2+N

以下、式を少しづつ削除・展開・統合し、整理していくと

N^3+3N^2+3N　=　3・Σk^2+3・(N^2+N)/2+N
N^3+3N^2+2N　=　3・Σk^2+3・(N^2+N)/2
N^3+3N^2+2N　=　3・Σk^2+3/2・(N^2+N)
N^3+3/2N^2+1/2N　=　3・Σk^2
N^3+3/2N^2+1/2N　=　3・Σk^2
1/2・N（2N^2+3N+1)　=　3・Σk^2
1/2・N(2N+1)(N+1)　=　3・Σk^2
1/6・N(2N+1)(N+1)　=　Σk^2

∴　Σk^2　＝　1^2+2^2+3^2+・・・+N^2　＝　1/6・N(2N+1)(N+1)