arcsin(x)のTaylor展開


　　　　　　　　　　　　　　 ∞
　　　　　　　　arcsin(x)＝Σ (2n)!/{(n!)^2・(4^n)・(2n+1)}・x^(2n+1)
　　　　　　　　　　　　　　n=0

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　　y＝arcsin(x)　　・・・�@

　　両辺を微分して

　　dy/dx＝1/√(1-x^2)　・・・�A


　　ところで

　　g(p)＝1/√(1-p)　　　のTaylor展開は既知のもので　・・・�B

　　g(p)＝1/√(1-p)
　　　　 ＝1＋1/1!・(1/2)・p＋1/2!・(1/2)・(3/2)・p^2＋1/3!・(1/2)・(3/2)・(5/2)・p^3＋・・・
　　　　　　+1/n!・(1×3×5×・・・(2n-1))/2^n・p^n＋・・・　　　　・・・�C

　　ここに
　　p　＝　x^2を代入すると

　　g(x^2)＝1/√(1-x^2)　　　　　　・・・�D
　　　　　　＝1＋1/1!・(1/2)・x^2＋1/2!・(1/2)・(3/2)・x^4＋1/3!・(1/2)・(3/2)・(5/2)・x^6＋・・・
　　　　　　　 +1/n!・(1×3×5×・・・(2n-1))/2^n・x^2n＋・・・


　　�A項の両辺を0〜xの範囲で積分すると


　　∫(dy/dx)dx＝∫dy＝y
　　　　　　　　　＝∫{1/√(1-x^2)}dx
　　　　　　　　　＝∫{g(x^2)}dx
　　　　　　　　　＝∫{1＋1/1!・(1/2)・x^2＋1/2!・(1/2)・(3/2)・x^4＋1/3!・(1/2)・(3/2)・(5/2)・x^6＋・・・
　　　　　　　　　　　　+1/n!・(1×3×5×・・・(2n-1))/2^n・x^2n＋・・・}dx

　　　各項積分に書き直すと
　　　　　　　　　＝∫{1}dx
　　　　　　　　　　+∫{1/1!・(1/2)・x^2}dx
　　　　　　　　　　+∫{1/2!・(1/2)・(3/2)・x^4}dx
　　　　　　　　　　+∫{1/3!・(1/2)・(3/2)・(5/2)・x^6}dx
　　　　　　　　　　+・・・
　　　　　　　　　　+∫{1/n!・(1×3×5×・・・(2n-1))/2^n・x^2n}dx
　　　　　　　　　　+・・・(つづく)
　　　
　　　定数を前に出すと
　　　　　　　　　＝∫dx
　　　　　　　　　　+{1/1!・(1/2)}・∫x^2dx
　　　　　　　　　　+{1/2!・(1/2)・(3/2)}・∫x^4dx
　　　　　　　　　　+{1/3!・(1/2)・(3/2)・(5/2)}・∫x^6dx
　　　　　　　　　　+・・・
　　　　　　　　　　+{1/n!・(1×3×5×・・・(2n-1))/2^n}・∫x^2ndx
　　　　　　　　　　+・・・(つづく)

　　※ここで、以下の式変形を使って式をまとめると

　 (1×3×5×・・・×(2n-1))＝{1×3×5×・・・(2n-1)}×{2×4×6×・・・×2n}÷（2^n・n!）
　　　　　　　　　　　 　　　　　　＝(2n)!/（2^n・n!）
　　　なので


　　　　　　　　　＝x
　　　　　　　　　　+{1/1!・(1/2)}/3・x^3
　　　　　　　　　　+{1/2!・(1/2)・(3/2)}/5・x^5
　　　　　　　　　　+{1/3!・(1/2)・(3/2)・(5/2)}/7・x^7
　　　　　　　　　　+・・・
　　　　　　　　　　+{(2n)!/(n!)^2・(2^n)^2}/(2n+1)・x^(2n+1)
　　　　　　　　　　+・・・(つづく)



　すなわち、
　　　　　　　　　　　　　　 ∞
　　　　　　　　arcsin(x)＝Σ　(2n)!/((n!)^2・(4^n)・(2n+1))・x^(2n+1)
　　　　　　　　　　　　　　 n=0

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所感（メモ）：２重階乗というのをはじめて知った。
　　　　　　　　(2n-1)!!＝(2n)!/（2^n・n!）　の変形は、定石なのかもしれない。

　　　　　　　　(2n-1)!!＝ 1×3×5×・・・×(2n-1)

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（メモ，超幾何級数による表記）　　　arcsin(x)＝ｘ・2Ｆ1(1/2,1/2；3/2；ｘ^2)