ζ(1)=1+1/2+1/3+1/4+1/5・・・(無限和)

        
=(1/(1−1/2)・(1/(1−1/3)・(1/(1−1/5)(無限積)


オイラーによると
整数の無限逆数和=素数逆数の無限等比級数和の積
だということなので

1+1/2+1/3+1/4+・・・=(1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・

したがって、以下の実験をしてみた。

@nまでの級数和=1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n

Anまでに含まれる素数での積=(1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・・(1+1/p+1/p^2+・・・)
                  =(1/(1-1/2))・(1/(1-1/3))・(1/(1-1/5))・・・(1/(1-1/p))

無限積をnまでとした場合

  @逆数和
1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
A素数逆数積(nまでの素数)
(1/(1-1/2))・(1/(1-1/3))・(1/(1-1/5))・・・(1/(1-1/p))
比率
(@-A)/@
比率
(A-@)/A
n=10 2.92896825396825 4.375 49.37 % 33.05 %
n=100 5.1873775176396 8.31135737891577 60.22 % 37.59 %
n=1000 7.48547086055026 12.3509756738515 65.00 % 39.39 %
n=10000 9.78760603604401 16.4244896321908 67.81 % 40.41 %
n=10^5 12.0901461298705 20.5115928251919 69.66 % 41.06 %
n=10^6 14.392726722894 24.6073829476284 70.97 % 41.51 %
n=10^7 16.6953113658567 28.7077703609113 71.95 % 41.84 %



比率が収束していかないところをみると  @逆数和≠A素数逆数積  と直感で感じるのもしかたない。

ちなみに(@−A)/@→1(極限値)となる。 

実際は、√nまでに含まれる素因数で構成される形で考えると イメージが湧く。

無限積を√nまでとした場合

  @逆数和
1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
A素数逆数積(√nまでの素数)
(1/(1-1/2))・(1/(1-1/3))・(1/(1-1/5))・・・(1/(1-1/p))
比率
(@-A)/@
比率
(A-@)/A
n=10 2.92896825396825 3 -2.43 % 2.37 %
n=100 5.1873775176396 4.375 15.66 % -18.57 %
n=1000 7.48547086055026 6.54226970908085 12.6 % -14.42 %
n=10000 9.7876060364401 8.31135737891577 15.08 % -17.76 %
n=10^5 12.0901461298705 10.3606128406158 14.31 % -16.69 %
n=10^6 14.392726722894 12.3509756738515 14.19 % -16.53 %
n=10^7 16.6953113658567 14.3675279998332 13.94 % -16.20 %
n=10^8 18.9978964139492 16.4244896321908 13.55 % -15.67 %





―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
!ゼータ関数の実験 nまでの素数
!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
FOR n0=1 TO 10
!初期化
LET =0
LET SEKI=1

LET n=10^n0

!級数和 1+1/2+1/3+1/4+・・・
FOR J=1 TO n
LET =+1/J
NEXT J


!級数積 (1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・
for prm=2 to n
!素数判定
LET not_SO=0
for J=2 to sqr(prm)
IF prm/J=INT(prm/J) THEN LET not_SO=1
IF not_SO=1 THEN EXIT FOR
next J
IF not_SO=0 or prm=2 THEN
LET SEKI=SEKI*(1/(1-1/prm))
END IF
NEXT prm


PRINT ""
PRINT "n=";n
PRINT "@逆数和=";
PRINT "A素数逆数積=";SEKI
PRINT "B(逆数和-逆数積)/逆数和=";ROUND((SEKI-)/*100,2);"%"
PRINT "C(逆数和-逆数積)/逆数積=";ROUND((SEKI-)/SEKI*100,2);"%"

NEXT n0

PRINT "終了!"
END

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
!ゼータ関数2の実験 積を√nまでとした場合
!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
FOR n0=1 TO 10
!初期化
LET =0
LET SEKI=1

LET n=10^n0

!級数和 1+1/2+1/3+1/4+・・・
FOR J=1 TO n
LET =+1/J
NEXT J


!級数積 (1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・
FOR prm=2 TO SQR(n)
!素数判定
LET not_SO=0
for J=2 to sqr(prm)
IF prm/J=INT(prm/J) THEN LET not_SO=1
IF not_SO=1 THEN EXIT FOR
NEXT J
IF not_SO=0 or prm=2 THEN
LET SEKI=SEKI*(1/(1-1/prm))
END IF
NEXT prm


PRINT ""
PRINT "n=";n
PRINT "@逆数和=";
PRINT "A√nまでの素数の逆数積=";SEKI
PRINT "B(逆数積-逆数和)/逆数和=";ROUND((-SEKI)/*100,2);"%"
PRINT "C(逆数和-逆数積)/逆数積=";ROUND((SEKI-)/SEKI*100,2);"%"

NEXT n0

PRINT "終了!"
END