ζ(1)=1+1/2+1/3+1/4+1/5・・・(無限和)
=(1/(1−1/2))・(1/(1−1/3))・(1/(1−1/5))・・・(無限積)
オイラーによると
整数の無限逆数和=素数逆数の無限等比級数和の積
だということなので
1+1/2+1/3+1/4+・・・=(1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・
したがって、以下の実験をしてみた。
@nまでの級数和=1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
Anまでに含まれる素数での積=(1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・・(1+1/p+1/p^2+・・・)
=(1/(1-1/2))・(1/(1-1/3))・(1/(1-1/5))・・・(1/(1-1/p))
無限積をnまでとした場合
@逆数和 1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n |
A素数逆数積(nまでの素数) (1/(1-1/2))・(1/(1-1/3))・(1/(1-1/5))・・・(1/(1-1/p)) |
比率 (@-A)/@ |
比率 (A-@)/A |
|
n=10 | 2.92896825396825 | 4.375 | 49.37 % | 33.05 % |
n=100 | 5.1873775176396 | 8.31135737891577 | 60.22 % | 37.59 % |
n=1000 | 7.48547086055026 | 12.3509756738515 | 65.00 % | 39.39 % |
n=10000 | 9.78760603604401 | 16.4244896321908 | 67.81 % | 40.41 % |
n=10^5 | 12.0901461298705 | 20.5115928251919 | 69.66 % | 41.06 % |
n=10^6 | 14.392726722894 | 24.6073829476284 | 70.97 % | 41.51 % |
n=10^7 | 16.6953113658567 | 28.7077703609113 | 71.95 % | 41.84 % |
比率が収束していかないところをみると @逆数和≠A素数逆数積 と直感で感じるのもしかたない。
ちなみに(@−A)/@→1(極限値)となる。
実際は、√nまでに含まれる素因数で構成される形で考えると イメージが湧く。
無限積を√nまでとした場合
@逆数和 1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n |
A素数逆数積(√nまでの素数) (1/(1-1/2))・(1/(1-1/3))・(1/(1-1/5))・・・(1/(1-1/p)) |
比率 (@-A)/@ |
比率 (A-@)/A |
|
n=10 | 2.92896825396825 | 3 | -2.43 % | 2.37 % |
n=100 | 5.1873775176396 | 4.375 | 15.66 % | -18.57 % |
n=1000 | 7.48547086055026 | 6.54226970908085 | 12.6 % | -14.42 % |
n=10000 | 9.7876060364401 | 8.31135737891577 | 15.08 % | -17.76 % |
n=10^5 | 12.0901461298705 | 10.3606128406158 | 14.31 % | -16.69 % |
n=10^6 | 14.392726722894 | 12.3509756738515 | 14.19 % | -16.53 % |
n=10^7 | 16.6953113658567 | 14.3675279998332 | 13.94 % | -16.20 % |
n=10^8 | 18.9978964139492 | 16.4244896321908 | 13.55 % | -15.67 % |
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!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
!ゼータ関数の実験 nまでの素数
!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
FOR n0=1 TO 10
!初期化
LET =0
LET SEKI=1
LET n=10^n0
!級数和 1+1/2+1/3+1/4+・・・
FOR J=1 TO n
LET =+1/J
NEXT J
!級数積 (1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・
for prm=2 to n
!素数判定
LET not_SO=0
for J=2 to sqr(prm)
IF prm/J=INT(prm/J) THEN LET not_SO=1
IF not_SO=1 THEN EXIT FOR
next J
IF not_SO=0 or prm=2 THEN
LET SEKI=SEKI*(1/(1-1/prm))
END IF
NEXT prm
PRINT ""
PRINT "n=";n
PRINT "@逆数和=";
PRINT "A素数逆数積=";SEKI
PRINT "B(逆数和-逆数積)/逆数和=";ROUND((SEKI-)/*100,2);"%"
PRINT "C(逆数和-逆数積)/逆数積=";ROUND((SEKI-)/SEKI*100,2);"%"
NEXT n0
PRINT "終了!"
END
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!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
!ゼータ関数2の実験 積を√nまでとした場合
!★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
FOR n0=1 TO 10
!初期化
LET =0
LET SEKI=1
LET n=10^n0
!級数和 1+1/2+1/3+1/4+・・・
FOR J=1 TO n
LET =+1/J
NEXT J
!級数積 (1+1/2+1/2^2+・・・)・(1+1/3+1/3^2+・・・)・(1+1/5+1/5^2+・・・)・・・
FOR prm=2 TO SQR(n)
!素数判定
LET not_SO=0
for J=2 to sqr(prm)
IF prm/J=INT(prm/J) THEN LET not_SO=1
IF not_SO=1 THEN EXIT FOR
NEXT J
IF not_SO=0 or prm=2 THEN
LET SEKI=SEKI*(1/(1-1/prm))
END IF
NEXT prm
PRINT ""
PRINT "n=";n
PRINT "@逆数和=";
PRINT "A√nまでの素数の逆数積=";SEKI
PRINT "B(逆数積-逆数和)/逆数和=";ROUND((-SEKI)/*100,2);"%"
PRINT "C(逆数和-逆数積)/逆数積=";ROUND((SEKI-)/SEKI*100,2);"%"
NEXT n0
PRINT "終了!"
END