エクセルでシミュレーション (番外編)


  4次のルンゲ=クッタで解く。 (t=0〜5秒, dt=0.0001 秒)

 
  条件:G=1 M1=,M2=,M3=   M2−M3間=, M3−M1間=, M1−M2間=

  万有引力(逆2乗)法則  a =−G・M/r^2×{(r→)/|r|}


 ピタゴラスの3体問題(5秒後まで)
 



Option Explicit
Option Base 1
Dim m(3) As Double
Public Const G   As Double = 1         '万有引力定数

Sub メインルーチン()

Dim t As Double, dt As Double         ' 時間
Dim rr(3, 3) As Double                     ' rr(識別番号,軸成分)
Dim vv(3, 3) As Double                    ' vv(識別番号,軸成分)

Dim ans As Variant
Dim cnt0 As Long, cnt1 As Long
Dim sh As Worksheet
Dim 終了時刻 As Double

Set sh = ThisWorkbook.Worksheets(1)

sh.Range("C10:AD1048576").ClearContents    ' データ消去
sh.Range("N2") = Time                                 ' 開始時刻

'初期条件
m(1) = 3            ' 質量1
m(2) = 4            ' 質量2
m(3) = 5            ' 質量3
rr(1, 1) = 1        '(識別番号,軸成分)
rr(1, 2) = 3        '(識別番号,軸成分)
rr(1, 3) = 0        '(識別番号,軸成分)
rr(2, 1) = -2       '(識別番号,軸成分)
rr(2, 2) = -1       '(識別番号,軸成分)
rr(2, 3) = 0        '(識別番号,軸成分)
rr(3, 1) = 1        '(識別番号,軸成分)
rr(3, 2) = -1       '(識別番号,軸成分)
rr(3, 3) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(1, 1) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(1, 2) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(1, 3) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(2, 1) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(2, 2) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(2, 3) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(3, 1) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(3, 2) = 0        '(識別番号,軸成分)
vv(3, 3) = 0        '(識別番号,軸成分)


  終了時刻 = 5
  dt = 0.001
 
  cnt0 = 0
  cnt1 = 0

    With sh                                                '表記
           .Cells(9, 4).Value = "t"                    't
           .Cells(9, 5).Value = "x1"                  'x1
           .Cells(9, 6).Value = "y1"                  'y1
           .Cells(9, 7).Value = "x2"                  'x2
           .Cells(9, 8).Value = "y2"                  'y2
           .Cells(9, 9).Value = "x3"                  'x3
           .Cells(9, 10).Value = "y3"                 'y3
    End With
 
  Do While t < 終了時刻
   
    With sh
      
           .Cells(cnt1 * 3 + 10, 4).Value = t               't
           .Cells(cnt1 * 3 + 10, 5).Value = rr(1, 1)       'M1 x
           .Cells(cnt1 * 3 + 10, 6).Value = rr(1, 2)       'M1 y
           .Cells(cnt1 * 3 + 11, 7).Value = rr(2, 1)       'M2 x
           .Cells(cnt1 * 3 + 11, 8).Value = rr(2, 2)       'M2 y
           .Cells(cnt1 * 3 + 12, 9).Value = rr(3, 1)       'M3 x
           .Cells(cnt1 * 3 + 12, 10).Value = rr(3, 2)      'M3 y
                        
        cnt1 = cnt1 + 1
    End With
   
    ans = RK4(t, dt, m, rr, vv)             ' ルンゲ=クッタ
 
    rr(1, 1) = ans(1)
    rr(1, 2) = ans(2)
    rr(1, 3) = ans(3)
    vv(1, 1) = ans(4)
    vv(1, 2) = ans(5)
    vv(1, 3) = ans(6)
    rr(2, 1) = ans(7)
    rr(2, 2) = ans(8)
    rr(2, 3) = ans(9)
    vv(2, 1) = ans(10)
    vv(2, 2) = ans(11)
    vv(2, 3) = ans(12)
    rr(3, 1) = ans(13)
    rr(3, 2) = ans(14)
    rr(3, 3) = ans(15)
    vv(3, 1) = ans(16)
    vv(3, 2) = ans(17)
    vv(3, 3) = ans(18)
 
    cnt0 = cnt0 + 1
 
    t = t + dt
  Loop
 
 sh.Range("N3") = Time

 

End Sub

Function RK4(ByVal t, ByVal dt, m, ByVal r0, ByVal v0) As Variant

'下準備-------------------------------------------------- ------------------------------------
Dim ret(18)
Dim r1(3, 3), r2(3, 3), r3(3, 3), r4(3, 3)                      ' r(識別番号,軸成分)
Dim v1(3, 3), v2(3, 3), v3(3, 3), v4(3, 3)                    ' v(識別番号,軸成分)
Dim k1rr(3, 3), k2rr(3, 3), k3rr(3, 3), k4rr(3, 3)           ' k1rr(識別番号,軸成分)
Dim k1vv(3, 3), k2vv(3, 3), k3vv(3, 3), k4vv(3, 3)       ' k1vv(識別番号,軸成分)
Dim 番号 As Integer, 軸 As Integer

For 番号 = 1 To 3
  For 軸 = 1 To 3
    v1(番号, 軸) = v0(番号, 軸)      'v(識別番号,軸成分) (3,3)  3体×3次元 前処理
    r1(番号, 軸) = r0(番号, 軸)       'r(識別番号,軸成分) (3,3)  3体×3次元 前処理
  Next 軸
Next 番号
'下準備-------------------------------------------------------------------- ------------------

 
'k1
  For 番号 = 1 To 3    '識別番号
    For 軸 = 1 To 3    '軸成分
       k1vv(番号, 軸) = dt * 速度変位成分_func(番号, 軸, t, r1, v1)  '速度変位_総和 m/s^2   ★dv/dt 3体×3次元=9連立
       k1rr(番号, 軸) = dt * 位置変位成分_func(番号, 軸, t, r1, v1)   '位置変位成分 m/s    ★dx/dt 3体×3次元=9連立
    Next 軸
  Next 番号

'k2
  For 番号 = 1 To 3
    For 軸 = 1 To 3
        v2(番号, 軸) = v1(番号, 軸) + k1vv(番号, 軸) / 2    'v(識別番号,軸成分) (3,3) 前処理
        r2(番号, 軸) = r1(番号, 軸) + k1rr(番号, 軸) / 2    'r(識別番号,軸成分) (3,3) 前処理
    Next 軸
  Next 番号
  For 番号 = 1 To 3    '識別番号
    For 軸 = 1 To 3    '軸成分
       k2vv(番号, 軸) = dt * 速度変位成分_func(番号, 軸, t + dt / 2, r2, v2)      '速度変位_総和 m/s^2 ★dv/dt 3体×3次元=9連立
       k2rr(番号, 軸) = dt * 位置変位成分_func(番号, 軸, t + dt / 2, r2, v2)      '位置変位成分 m/s  ★dx/dt 3体×3次元=9連立
    Next 軸
  Next 番号


'k3
  For 番号 = 1 To 3
    For 軸 = 1 To 3
        v3(番号, 軸) = v1(番号, 軸) + k2vv(番号, 軸) / 2    'v(識別番号,軸成分) (3,3) 前処理
        r3(番号, 軸) = r1(番号, 軸) + k2rr(番号, 軸) / 2      'r(識別番号,軸成分) (3,3) 前処理
    Next 軸
  Next 番号
  For 番号 = 1 To 3    '識別番号
    For 軸 = 1 To 3    '軸成分
       k3vv(番号, 軸) = dt * 速度変位成分_func(番号, 軸, t + dt / 2, r3, v3)     '速度変位_総和 m/s^2  ★dv/dt 3体×3次元=9連立
       k3rr(番号, 軸) = dt * 位置変位成分_func(番号, 軸, t + dt / 2, r3, v3)      '位置変位成分 m/s   ★dx/dt 3体×3次元=9連立
    Next 軸
  Next 番号
   
   
'k4
  For 番号 = 1 To 3
    For 軸 = 1 To 3
        v4(番号, 軸) = v1(番号, 軸) + k3vv(番号, 軸)     'v(識別番号,軸成分) (3,3) 前処理
        r4(番号, 軸) = r1(番号, 軸) + k3rr(番号, 軸)     'r(識別番号,軸成分) (3,3) 前処理
    Next 軸
  Next 番号
  For 番号 = 1 To 3    '識別番号
    For 軸 = 1 To 3    '軸成分
       k4vv(番号, 軸) = dt * 速度変位成分_func(番号, 軸, t + dt, r4, v4)       '速度変位_総和 m/s^2   ★dv/dt 3体×3次元=9連立
       k4rr(番号, 軸) = dt * 位置変位成分_func(番号, 軸, t + dt, r4, v4)        '位置変位成分 m/s    ★dx/dt 3体×3次元=9連立
    Next 軸
  Next 番号
   
   
 
 For 番号 = 1 To 3
  For 軸 = 1 To 3
     v1(番号, 軸) = v1(番号, 軸) + 1 / 6 * (k1vv(番号, 軸) + 2 * k2vv(番号, 軸) + 2 * k3vv(番号, 軸) + k4vv(番号, 軸))    ' m/s
     r1(番号, 軸) = r1(番号, 軸) + 1 / 6 * (k1rr(番号, 軸) + 2 * k2rr(番号, 軸) + 2 * k3rr(番号, 軸) + k4rr(番号, 軸))           ' m
  Next 軸
 Next 番号
   
    '便宜的に戻り値を行列 ret(18)でまとめ
    ret(1) = r1(1, 1)
    ret(2) = r1(1, 2)
    ret(3) = r1(1, 3)
    ret(4) = v1(1, 1)
    ret(5) = v1(1, 2)
    ret(6) = v1(1, 3)
    ret(7) = r1(2, 1)
    ret(8) = r1(2, 2)
    ret(9) = r1(2, 3)
    ret(10) = v1(2, 1)
    ret(11) = v1(2, 2)
    ret(12) = v1(2, 3)
    ret(13) = r1(3, 1)
    ret(14) = r1(3, 2)
    ret(15) = r1(3, 3)
    ret(16) = v1(3, 1)
    ret(17) = v1(3, 2)
    ret(18) = v1(3, 3)

    RK4 = ret
   
End Function

Function 速度変位成分_func(ByVal 被番号, ByVal 軸, ByVal t, ByVal r, ByVal v) As Double        ' (速度変位 m/s^2)を返す
Dim sum_a As Double
Dim rrr As Double
Dim 差異(3) As Double
Dim 基準天体 As Integer

  rrr = 0      ' 初期化
  sum_a = 0    ' 初期化
 
  ' dv/dt = -G・M・(→r)/r^3      ・・・ 万有引力の法則
 
  For 基準天体 = 1 To 3    '番号
    If 被番号 <> 基準天体 Then  ' 相違する場合だけ計算する
       差異(1) = r(被番号, 1) - r(基準天体, 1)                      'r(識別番号,軸成分) x成分
       差異(2) = r(被番号, 2) - r(基準天体, 2)                      'r(識別番号,軸成分) y成分
       差異(3) = r(被番号, 3) - r(基準天体, 3)                      'r(識別番号,軸成分) z成分
       rrr = (差異(1) ^ 2 + 差異(2) ^ 2 + 差異(3) ^ 2) ^ 0.5        'r = √(x^2+y^2+z^2)
      
       sum_a = -G * m(基準天体) * 差異(軸) / rrr / rrr / rrr + sum_a       '相違し、且つ、計算する軸成分だけを積算する
     
    End If
  Next 基準天体
      
 
    速度変位成分_func = sum_a           '加速度 1成分のみ

End Function

Function 位置変位成分_func(ByVal 被番号, ByVal 軸, ByVal t, ByVal r, ByVal v) As Double       ' (位置変位 m/s)を返す
 
    ' dx/dt = v
   
    位置変位成分_func = v(被番号, 軸)  '単に速度ベクトルを返す 1成分のみ

End Function


  (dt=0.0001にて 約8.6秒後に計算が破綻する様子)  




 《自動幅制御:誤差見積もり》
 結局、通常のdtでの計算結果と dt/2で2回計算の結果とを比較評価しながら
 許容される場合はそのまま、超える場合は dt を半分にするアルゴリズムを
 上位に配置し(つまり、自動幅制御をしながら)計算させた。


 大変カオティックな問題なので、最終的に区間許容誤差=10^-11 としてはじめて
 Szebehely, V. & Peters, C. F.     (16 May 1967)   Complete Solution
  とほぼ同じ図形を得た。 (但し、有効数字は1〜2桁まで低下 ;t=60)


  ルンゲ=クッタ 4次 自動幅制御での結果 (t= 0〜70)


 

  区間許容誤差=10^-13にて計算すると 有効数字は3桁強まで改善 ;t=60
  区間許容誤差=10^-16
にて計算すると 有効数字 は5桁 まで改善 ;t=60 

  (条件:十進BASIC 1000桁モード


  34桁版/3体問題  ・・・  もう4倍精度(約34桁)くらいが 標準で も良い時代だと思う。



参考:パソコンで見る天体の動き p175-183 地人書館 
     EXELで繰る! ここまでできる科学技術計算 p59-p61 丸善出版
     Cによる数値計算 p183-184 朝倉書店



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